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数制与编码

这一章主要讲述的内容是在数字设备中进行算术运算的基本知识--数制和一些常用的编码。它是这门课程的基础。
我们在学习时把这一章的内容分为五节，它们分别是：
§ 1、1 进位计数制
§ 1、2 数值转换
§ 1、3 二进制数的算术运算
§ 1、4 数的原码、反码及补码
§ 1、5 编码

§ 1、1 进位计数制

这一节我们来学习进位计数制的概念和一些常用的进位计数制。

一：进位计数制
它的概念描述为：把数划分为不同的位数，逐位累加，加到一定数量之后，再从零开始，同时向高位进位
进位计数制有三个要素：数符、进位规律和进位基数。
什麽是进位基数呢？即计数制中每个数位所使用的数码符号的总数，它又被称为进位模数。
我们经常把数用每位权值与该位的数码相乘展开。当某位的数码为“1”时所表征的数值即该位的权值。
例1：我们把十六进制数N=（1FA3.B3）_H按权展开式子为？
N=1*16³+15*16²+10*16¹+3*16⁰+11*16^-1+3*16^-2

二：常用的进位计数制
我们用进位计数制的三要素来描述一下二进制、八进制、十进制和十六进制。如下表所示：

常用进制	英文表示符号	数码符号	进位规律	进位基数
二进制	B	0、1	逢二进一	2
八进制	O	0、1、2、3、4、5、6、7	逢八进一	8
十进制	D	0、1、2、3、4、5、6、7、8、9	逢十进一	10
十六进制	H	0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F	逢十六进一	16

§ 1、2 数制转换

在数字设备中计数用的是二进制，但我们计数一般采用十进制，那它们之间是怎样转换的呢？

一：其它进制转换为十进制
方法是：将其它进制按权位展开，然后各项相加，就得到相应的十进制数。

例1： N=（10110.101）_B=（？）_D按权展开N=1*2⁴+0*2³+1*2²+1*2¹+0*2⁰+1*2^-1+0*2^-2+1*2^-3=16+4+2+0.5+0.125 =（22.625）_D
二：将十进制转换成其它进制
方法是：它是分两部分进行的即整数部分和小数部分。

整数部分：（基数除法）
把我们要转换的数除以新的进制的基数，把余数作为新进制的最低位；
把上一次得的商在除以新的进制基数，把余数作为新进制的次低位；
继续上一步,直到最后的商为零,这时的余数就是新进制的最高位.
小数部分： （基数乘法）
把要转换数的小数部分乘以新进制的基数，把得到的整数部分作为新进制小数部分的最高位
把上一步得的小数部分再乘以新进制的基数，把整数部分作为新进制小数部分的次高位；
继续上一步，直到小数部分变成零为止。或者达到预定的要求也可以。

例2 ： N=（68.125）_D=（？）_O

整数部分小数部分

（68.125）_D=（104.1）_O

三：二进制与八进制、十六进制的相互转换

二进制转换为八进制、十六进制:它们之间满足2³和2⁴的关系，因此把要转换的二进制从低位到高位每3位或4位一组，高位不足时在有效位前面添“0”，然后把每组二进制数转换成八进制或十六进制即可
八进制、十六进制转换为二进制时，把上面的过程逆过来即可。
例3：N=（C1B）_H=（？）_B（C1B）_H=1100/0001/1011=（110000011011）_B

§ 1、3 二进制数的算术运算
我们知道十进制可以进行四则运算,那麽二进制能否进行四则运算？答案是肯定的。

一：二进制的四则运算二进制也可以进行四则运算，它的运算规则如下所示：

加运算	0+0=0，0+1=1，1+0=1，1+1=10 逢2进1
减运算	1-1=0，1-0=1，0-0=1，0-1=1（向高位借1当2）
乘运算	00=0，01=0，10=0，11=1
除运算	二进制只有两个数（0，1），因此它的商是1或0.

例1：求（1011101）_B与（0010011）_B之和	例2：求（1101）_B与（0101）_B的乘积

通过例(1)我们再来介绍两个概念：半加和全加。

半加是最低位的加数和被加数相加时，不考虑低位向本位进位。
全加是加数和被加数相加时，我们还要考虑低位向本位的进位。

§ 1、4 数的原码、反码及补码

我们知道在生活中,数是有正负之分,在数字设备中是怎样表示数的正负符号呢？

一：数的表示形式
在生活中表示数的时候一般都是把正数前面加一个“+”，负数前面加一个“-”，但是在数字设备中，机器是不认识这些的，我们就把“+”用“0”表示，“-”用“1”表示。原码、反码和补码。这三种形式是怎样表示的呢？如下所示：

	真值	原码	反码	补码	例1：求+12和-12八位原码、反码、补码形式它们的原码分别为[+12]=00001100[-12]=100011 它们的反码分别为[+12]^=00001100 [-12]^=（2⁸-1）+（-1100）=11110011 它们的补码分别为[+12]^=00001100 [-12]^=2⁸+（-1100）=11110100
正数	+X	0X	0X	0X
负数	-X	1X	（2ⁿ-1）+X	2ⁿ+X

二：原码、反码及补码的算术运算
因为这三种数码表示法的形成规则不同，所以算术运算方法也不相同。

原码：与我们的日常中算术运算相同。
反码：先转换为反码形式,再进行加减运算。它的减法可以按A_反+[-B]_反的形式进行.
补码：先转换为补码形式，再进行加减运算,其减法可以按A_补+[-B]_补进行.

三：溢出及补码运算中溢出的判断
溢出可以描述为运算结果大于数字设备的表示范围。这种现象应当作故障处理。
判断溢出是根据最高位的进位来判断的。

§1、5 编码

指定某一组二进制数去代表某一指定的信息，就称为编码。

一：二——十进制（BCD）码

用二进制码表示的十进制数，就称为BCD码。它具有二进制的形式，还具有十进制的特点它可作为人们与数字系统的联系的一种间表示。BCD码分为有权和无权编码。

（1）有权BCD码：每一位十进制数符均用一组四位二进制码来表示，而且二进制码的每一位都有固定权值.下面我们用表列出几种常见的编码:

十进制数	常见的编码	8421	5421	2421	631-1	余3码	7321
0		0000	0000	0000	0000	0011	0000
1		0001	0001	0001	0010	0100	0001
2		0010	0010	1000	0101	0101	0010
3		0011	0011	1001	0100	0110	0011
6		0110	1001	1100	1000	1001	0111
8		1000	1011	1110	1101	1011	1001
9		1001	1100	1111	1100	1100	1010

（2）无权BCD码：二进制码中每一位都没有固定的权值。

二：奇偶校验码

在数据的存取、运算和传送过程中，难免会发生错误，把“1”错成“0”或把“0”错成“1”。奇偶校验码是一种能检验这种错误的代码。它分为两部分；信息位和奇偶校验位。
有奇数个“1”称为奇校验，有偶数个“1”则称为偶校验。

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