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布尔代数与逻辑函数化简

这一章主要是讲布尔代数和逻辑函数化简。在布尔代数中是把逻辑矛盾的一方假定为"0",另一方假定为"1"这样就把逻辑问题数字化了。逻辑函数的化简也就是运用布尔代数的性质来进行化简。这一章是这门课程的重点，我们一点要掌握好！

我们在学习时把这一章的内容分为：

§ 3、1 基本公式和规则
§ 3、2 逻辑函数的代数法化简
§ 3、3 卡诺图化简

§3、1布尔代数的基本公式和规则

一：布尔代数的基本公式

下面我们用表格来列出它的基本公式:

公式名称	公式
1、0-1律	A*0=0	A+1=1
2、自等律	A*1=A	A+0=A
3、等幂律	A*A=A	A+A=A
4、互补律	A*A=0	A+A=1
5、交换律	AB=BA	A+B=B+A
6、结合律	A（BC）=（AB）C	A+（B+C）=（A+B）+C
7、分配律	A（B+C）=AB+AC	A+BC=（A+B）（A+C）
8、吸收律1	（A+B）（A+B）=A	AB+AB=A
9、吸收律2	A（A+B）=A	A+AB=A
10、吸收律3	A（A+B）=AB	A+AB=A+B
11、多余项定律	（A+B）（A+C）（B+C） =（A+B）（A+C）	AB+AC+BC=AB+AC
12、否否律	（）=A
13、求反律	AB=A+B	A+B=A*B

下面我们来证明其中的两条定律：
（1）证明：吸收律1第二式AB+AB=A
左式=AB+AB=A（B+B）=A=右式（因为B+B=1）
（2）证明：多余项定律AB+AC+BC=AB+AC
左式=AB+AC+BC=AB+AC+BC（A+A)
=AB+AC+ABC+ABC
=AB（1+C）+AC（1+B）
=AB+AC=右式证毕

注意：求反律又称为摩根定律，它在逻辑代数中十分重要的。

二：布尔代数的基本规则

代入法则 它可描述为逻辑代数式中的任何变量A，都可用另一个函数Z代替，等式仍然成立。

对偶法则 它可描述为对任何一个逻辑表达式F，如果将其中的“+”换成“*”，“*”换成“+”“1”换成“0”，“0”换成“1”，仍保持原来的逻辑优先级，则可得到原函数F的对偶式G，而且F与G互为对偶式。我们可以看出基本公式是成对出现的，二都互为对偶式。

反演法则 有原函数求反函数就称为反演（利用摩根定律），
我们可以把反演法则这样描述：将原函数F中的“*”换成“+”，“+”换成“*”，“0”换成“1”，“1”换成“0”；原变量换成反变量，反变量换成原变量，长非号即两个或两个以上变量的非号不变，就得到原函数的反函数。

§3、2 逻辑函数的代数法化简

逻辑函数化简的方法有两种，分别是代数法和卡诺图法。这一节我们来学习：代数法化简。

我们先来了解一个概念，什麽是逻辑电路图？逻辑电路图就是用逻辑门组成的电路图。

一：逻辑函数化简的基本原则
逻辑函数化简，没有严格的原则，它一般是依以下几个方面进行：
逻辑电路所用的门最少；各个门的输入端要少；逻辑电路所用的级数要少；逻辑电路要能可靠的工作。
这几条常常是互相矛盾的，化简要根据实际情况来进行。下面我们来用例题说明一下：
例1：化简函数F=AB+CD+AB+CD，并用基本逻辑门实现。
（1）先化简逻辑函数 F=AB+CD+AB+CD=A（B+B）+D（C+C）=A+D
（2）用逻辑门实现：（由化简来看只需一个与门）

二：逻辑函数的形式和逻辑变换

逻辑函数的形式很多，一个逻辑问题可以用多种形式的逻辑函数来描述。

逻辑函数的表达式可分为五种：
1."与或"表达式2."或与"表达式3."与非"表达式4."或非"表达式5."与或非"表达式。这几种表达式之间可以互相转换，应根据要求把逻辑函数化简成我们所需要的形式。

§3、3卡诺图化简（第一页）
上一节我们已经学习了代数法化简逻辑函数，这一节我们来学习另一种化简方法：图形法

一：在学习之前我们先来了解几个概念（1）逻辑相邻项：它可描述为在两个与或逻辑中，除某个因子互为非外，其余的因子都相同。
（2）逻辑最小项：它可描述为在给定变量数目的逻辑函数中，所有变量参加相与的项。在某一个最小项中每个变量只能以原变量或反变量的形式出现一次。逻辑最小项的性质是：全部最小项之和为“1”；两个不同的最小项之积为“0”； n变量有2ⁿ项最小项。
（3）最小项标准式：全是最小项组成的“与或”式。
二：卡诺图化简的基本原理凡两个逻辑相邻项，可合并为一项，其合并的逻辑函数是保留相同的，消去相异的变量。
三：卡诺图的结构每一个最小项用一个方格表示，逻辑相邻的项几何位置上也相邻，卡诺图每方格取值按循环码排列
四：卡诺图的表示法先将逻辑函数式化为最小项表达式，再填写卡诺图。用真值表填写对应的卡诺图方格。直接填写（横纵保留相同的因子）
五：卡诺图中的最小项的合并规律合并规律： 2¹个相邻项合并时消去一个相同的变量，2²个相邻的项合并时消去两个相同的变量，以此类推，2ⁿ 个相邻的项合并时消去n个相同的变量。相邻项的性质是（1）具有公共边（2）对折重合（3）循环相邻
六:"与或"逻辑化简例：化简F=BCD+BC+ADC+ABC+ABC（用图形法）
（1）用卡诺图表示逻辑函数：（如下图）（2）画卡诺圈圈住全部“1”的方格（规则是：圈尽可能大；允许重复，但要新；孤立的“1”独圈。）（3）组成新函数是F=BC+AC+ADB （4）画出逻辑电路：（如右下图所示）

§3、3卡诺图化简(第二页)

七:其它逻辑形式的化简

(1)"与非"逻辑形式
方法是:把逻辑函数用卡诺图化简得"与或"式,然后"与或"式两次求反即得"与非"式。

(2)"或与"逻辑形式
方法是:
从卡诺图上求其反函数(圈"0"方格)
由反函数求得原函数,再利用摩根定律即得"或与"式。
也可直接从卡诺图中求得"或与"式：把图中的"0"作为原变量,把原变量相"或"起来,就得每一"或"项,把每一项再"与"起来就是我们所求的结果。
我们用例题来说明一下:

例2:求例题1得"或与"式. 1.我们先用卡诺图表示函数式(如下左图) 2.然后圈图中的"0"方格,用"或与"式把函数的化简结果表示出来 F=(A+B+D)(A+B+C)(A+B+C) 3.再用逻辑门电路来实现逻辑函数的化简结果.(如下右图)

(3)"或非"逻辑形式
方法是:先求得"或与"式,然后两次求反即得"或非"式。

(4)"与或非"逻辑形式
方法是(有两种)
得"与或"式后,两次求反不用摩根定律处理即得.
求得反函数(反函数的求法是:在卡诺图中圈"0"方格,然后用与或式把"0"方格实现出来既是反函数)后,再求一次反不用摩根定律处理即得。

八：无关项及无关项的应用
逻辑问题分完全描述和非完全描述两种。
完全描述就是函数得每组变量不管取什麽值，逻辑函数都有意义，逻辑函数与每个最小项都有关。
非完备描述就是在实际中变量的某些取值式函数没有意义或变量之间有一定的制约关系。
我们把与函数无关的最小项称为无关项，它有时也称为禁止项，约束项，任意项。它的输出是任意的。化简有无关项的逻辑函数时，若无关项对化简有帮助则认为是“1”否则为“0”。

例3. 化简F=ACB+BAC 约束项条件为AB+AC+BC=0
1.先用卡诺图把函数表示出来,约束项就是AB、AC、BC不能同时为"0"(如下左图)
2.(我们从图中可以看到,若不考虑无关项的话,函数时不能化简得)考虑无关项的化简结果为F=A+C.
3.用门电路来实现逻辑函数.(如下右图)

	§3、3卡诺图化简(第三页）

九：输入只有原变量的函数化简

在实际中有时会遇到只有原变量的函数，那怎样化简它呢？
用"非"门求得反变量来解决这种问题是很不经济。可以用三级电路设计法(阻塞法)来解决这样的问题.
在卡诺图中人们可以发现一种特殊现象.当卡诺圈中含有全"1"方格(二变量的"11"即AB;三变量的"111'即ABC;等)时,其化简结果均为原变量。
在化简这类问题时就可以利用这个性质,若没有给全"1"的逻辑项,可以先把它在卡诺图中圈出来,然后再阻塞掉即可。

例4：输入只有原变量，用与非门实现 F=Σ(3，4，5，6）
1.现在用卡诺图化简函数(如下左图),并阻塞掉全"1"方格.F=AABC+BCABC=
2.用逻辑门电路实现逻辑函数如下右图所示(它为三级电路)

十: 多输出函数的化简

实际中电路常常有两个或两个以上的输出端,在化简这类问题是不能单纯地去追求各个函数最简,我们应统一考虑,充分利用公共项.
例5: 化简 F₁=Σ(1,3,4,5,7) F₂=Σ(3,4,7)并用门电路实现.
1.用卡诺图分别化简函数,由于卡诺图中都含有ABC这一项,所以把它作为公共向来考虑.(如下左图)
化简结果为:F₁=C+ABC,F₂=BC+ABC
2.根据化简结果来用门电路来实现.(如下右图)

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