为了说明清楚杂质通过二氧化硅扩散的问题，我们仅用最简单的情况说明。假设二氧化硅的表面浓度为恒定不变的预淀积过程，并且扩散的初始条件为二氧化硅和硅中的杂质浓度为0。
图3.2 杂质通过二氧化硅扩散模型
建立如图3.2所示的杂质通过二氧化硅扩散模型[10]，二氧化硅层的厚度为d，以C1(x,t) 和C2(x,t)分别表示在任意时刻t和位置x处杂质在二氧化硅中和硅中的浓度，以D1和D2分别表示杂质在二氧化硅和硅中的扩散系数。硅片可以认为是半无限大，并且杂质的浓度小于本征载流子浓度，所以也不考虑杂质扩散的“场助效应”，认为杂质扩散系数不变。根究恒定源扩散理论，杂质在二氧化硅中的分布为余误差分布，即：
其中Cs是表面浓度。
由于杂质在Si和SiO2中固溶度不一样，故从SiO2向Si扩散时，杂质的浓度在SiO2/Si界面处将按分凝系数m的比例进行分配，即C2x=d=mC1x=d，所以在x=d处C2的浓度由C1的浓度决定：
它是随时间变化的函数，令其为f(t)。所以，杂质在硅中的扩散由下面的方程可以得出（进行坐标系平移）：
初始条件：C2(x,t)t->0=0
边界条件： C2x->0=f(t)
其中 
这是一个边界条件为非齐次方程问题，用拉普拉斯变换法[11]求解较为简便。首先对上面的偏微分方程进行拉氏变换，考虑到方程在x=0处未给出函数导数值，而对t来说，已知t = 0时的函数初始值，所以采用关于t的拉氏变换。
令
分别为函数C2(x,t),f(t)关于t的拉氏变换。对扩散方程（3.14）和边界条件（3.16）施行拉普拉斯变换，变换的结果是：
（3.18）
于是偏微分方程转化为关于x的常微分方程，而且初始条件（3.15）也一并考虑，解为：
为了求原定解问题的解
，需要对式（3.20）求拉氏逆变换。
由于
再由拉氏变换表查得
故
利用拉氏变换的卷积性质由（3.21）和（3.22）得：
再利用坐标平移得：
其中
从SiO2/Si界面进入硅中的杂质的流密度为：
在SiO2/Si界面流出二氧化硅的杂质的流密度为：
很明显，一般情况下方程（3.26）与方程（3.27）不相等，所以流过SiO2/Si界面的流密度不相等。
二氧化硅和硅中的杂质总量Qtotal为：
把方程（3.29）代入方程（3.28）可以得出：
通过二氧化硅表面进入二氧化硅和硅的杂质总量Qs为：
很明显方程（3.30）和方程（3.31）不相等，所以一般情况杂质总量也不相等。由杂质的流密度和杂质总量可以看出这样的解法是错误的。这种错误是由于引用了错误的边界条件，把杂质在不同扩散系数的材料的边界简单的看作是杂质在一种材料中扩散的截取和按照杂质的分凝系数进行分配，实际上，杂质在两种材料的界面的再分布是一个复杂的过程。
