一, 基本思想
对求解问题本身就具有概率和统计性的情况,例如中子在介质中的传播,核衰变过程等,我们可以使用直接蒙特卡洛模拟方法.该方法是按照实际问题所遵循的概率统计规律,用电子计算机进行直接的抽样试验,然后计算其统计参数.直接蒙特卡洛模拟法最充分体现出蒙特卡洛方法无可比拟的特殊性和优越性,因而在物理学的各种各样问题中得到广泛的应用.该方法也就是通常所说的"计算机实验". 蒙特卡洛方法也可以人为地构造出一个合适的概率模型,依照该模型进行大量的统计实验,使它的某些统计参量正好是待求问题的解.这也就是所谓的间接蒙特卡洛方法.下面我们举两个最简单的例子来说明间接蒙特卡洛方法应用的内涵.
巴夫昂(Buffon)投针实验.
该试验方案是:在平滑桌面上划一组相距为s的平行线,向此桌面随意地投掷长度ls=的细针,那末从针与平行线相交的概率就可以得到π的数值. 数学统计理论的简单地计算: 设针与平行线的垂直方向的夹角为α,那么针在与平行线垂直的方向上投影的长度为αcos l.对于确定的α夹角,细针与平行线相交的概率为投影长度与平行线间距之比,
蒙特卡洛方法的基本思想:
当问题可以抽象为某个确定的数学问题时,应当首先建立一个恰当的概率模型,即确定某个随机事件A或随机变量X,使得待求的解等于随机事件出现的概率或随机变量的数学期望值.然后进行模拟实验,即重复多次地模拟随机事件A或随机变量X.最后对随机实验结果进行统计平均,求出A出现的频数或X的平均值作为问题的近似解.这种方法也叫做间接蒙特卡洛模拟.
从上面的分析看到,蒙特卡洛方法的误差与和n有关.为了减小误差,就应当选取最优的随机变量,使其方差最小.对同一个问题,往往会有多个可供选择的随机变量,这时就应当择优而用之.在方差固定时,增加模拟次数可以有效地减小误差.如试验次数增加100倍,精度提高10倍.当然这样做就增加了计算的机时,提高了费用.所以在考虑蒙特卡洛方法的精确度时,不能只是简单地减少方差和增加模拟次数,还要同时兼顾计算费用,即机时耗费.通常以方差和费用的乘积作为衡量方法优劣的标准.
