摘要：通过理论分析和仿真实验，对分数倍采样率转换过程中的抽取与内插的先后顺序进行了研究。

    关键词：分数倍采样率转换 欠采样 过采样 运算效率

在多抽样率信号处理中，分数倍采样率转换是一类比较重要的应用，对分数倍采样率转换的研究很多[1-4]，L/M倍的抽样率转换通过一个L倍内插和M倍抽取的串联实现。分数倍采样率转换必须先内插再抽取才能保证中间处理过程不丢失信息[1]。但先内插再抽取的弊端是滤波器工作在高采样率下运算效率较低。能否通过先抽取再内插的办法进行分数倍采样率转换呢？本文就是分析分数倍采样率转换过程中内插与抽取的先后顺序是否可以互换。

    设基带信号最高频率为fs，原始信号采样率为Nfs，分数倍采样因子为L/M，则采样后信号的采样率为LNfs/M。由奈奎特采样定理可知，只要采样率大于奈奎斯特频率，就可以无失真地恢复出原始信号。显然先内插再抽取的方法不会在中间过程造成基带信号的丢失；而采用先抽取再内插的方法，则当N/M≥2即奈奎斯特采样或者过采样时不会造成基带信号的丢失，而当N/M<2即欠采样时，先抽取必定会造成基带信号的丢失。

1 欠采样

在欠采样下进行分数倍抽样率转换时，如果先抽取，则不满足奈奎斯特采样定理的条件，中间处理过程一定会造成基带信号的丢失，这样再内插后丢失的信号仍然得不到恢复，从而造成采样信号的失真；如果先内插，将采样率提高，再抽取降采样，就可以有效地避免基带信号丢失的现象。因此，在欠采样下进行分数倍抽样率转换，必须先内插再抽取。

2 奈奎斯特采样或过采样

奈奎斯特采样或者过采样下无论先抽取还是先内插，均满足奈奎斯特采样定理，因此进行分数倍抽样率转换时即可以先抽取再内插，也可以先内插再抽取。

下面通过仿真实例来说明在过采样下进行分数倍抽样率转换的情况。设原始采样率48.96MHz，基带信号最高频率为4.08 MHz，进行2/3倍抽样率转换，通带纹波Rp=0.5dB,阻带衰减Rs=20 dB，通带上限截止频率fp=4.08 MHz，阻带下限截止频率fs=5MHZ。

    2.1 先抽取再内插

先三倍抽取再两倍内插的实现框图如图1.其中h1（n）为抗混叠滤波器，h2（n）为去镜像滤波器，可以求得h1（n）的阶数为57阶，h2（n）的阶数为37阶。它们的幅频响应分别示于图2中。

2.2 先内插再抽取

先两倍内插再三倍抽取的实现框图如图3。其中，h（n）既是抗混叠滤波器，也是去镜像滤波器，可求得滤波器阶数为113阶，幅频响应如图4。

    2.3 运算效率比较

图5给出了过采样下原始信号和先抽取再内插以及先内插再抽取后信号的周期图功率谱。从中可以看出，先抽取再内插的方法与先内插再抽取的方法都实现了2/3倍采样率转换。现在再比较一下两种方法的运算效率。

图5

    用Rr*表示每秒所需要的乘法次数（MPS），用Nr表示存储系数和数据所需要的运算量，Ri表示第I级所需要的每秒乘法次数，Ni表示第I级FIR内插滤波器的阶数，Fi表示第I级滤波器的采样率，I表示多级现实时的总级数，单级实现时I=1。由文献[1]可知：

若滤波器为对称的，则

利用滤波器的对称性，先三倍抽取再两倍内插每秒所需的乘法次数为：

所需的存储时为：N1=57+37=94

先两倍内插再三倍抽取每秒所需的乘法次数为：

所需的存储量为：N2=113

因此先三倍抽取再两倍内插的运算效率比先两倍内插再三倍抽取的运算效率高。

分数倍采样率转换过程中抽取与内插的先后顺序不仅决定是否能正确地采样，还决定着采样率转换运算效率的高低。本文通过理论分析和仿真实验，对这一问题进行了研究。研究结果表明：在欠采样下，进行分数倍抽样率转换必须先内插再抽取；在奈奎斯特采样率或者过采样下进行分数倍抽样率转换时，从信号保持角度看，先抽取再内插和先内插再抽取均可以实现无失真采样；但从运算效率角度看，则应该选择先抽取再内插的方法。