四轴平台奇异点机理分析

对于四轴平台而言，现有文献认为当其外框轴旋转±90° 时，会出现随动伺服回路飞车现象，使得平台失去全方位机动能力。为此，近几年国内针对平台系统的控制策略做了许多研究。文献^[7] 针对平台系统的飞转做了详细研究，分析其产生原理并提出了算法。文献^[8]提出了一种对随动框架控制的方法，当四轴平台的外框轴处于奇异点时通过翻转控制方法，使得四轴平台保持其正常功能。文献[9] 提出在奇异点断开回路或者对除法器限幅这两种方案，保障四轴平台在奇异点稳定工作。这些研究虽然提出了控制策略，保障了平台系统全姿态能力的机动性，但并未从机理上对奇异点的原理进行分析。为此，本文针对四轴平台的奇异点机理进行了分析，证明了奇异点的存在性以及奇异点的唯一性。

1   四轴平台坐标系定义及动态模型

四轴平台的模型如图1 所示，由内而外依次是台体、内框、外框和随动框。其中为台体坐标系，OZa 为台体轴， θ _a为台体轴旋转角度；为内框坐标系， OY_f 为内框轴， θ_f 为内框轴旋转角度；为外框坐标系， OXr 为外框轴， θ_r为外框轴旋转角度；为随动框坐标系，OY_p 为随动轴，θ_p 为随动轴旋转角度。相邻框架系间角速率为。

在机体飞行过程中，机体角速度的变化是整个系统的输入，通过框架轴物理关系逐层传递到台体坐标系，并且由刚体运动学中“绝对运动= 牵连运动+ 相对运动”作为理论支撑，根据上述定义，由基座坐标系b 到台体坐标系a 的传递关系可定义如下。

其中ω_bx 、ω_by 和ω_bz 分别为基座各轴角速度；ω_px 、ω_py 和ω_pz分别为随动框架各轴的角速度； ω_rx 、ω_ry和ω_rz分别为外框架各轴角速度； ω_fx 、ω_fy 和ω_fz 分别为内框架各轴角速度； ω_ax 、ω_ay 和ω_az 分别为台体各轴角速度。

2   奇异点机理分析

四轴平台的随动框架对内框轴有伺服控制作用，通过旋转随动框轴来平衡内框轴的转动角速度，保障台体轴、内框轴和外框轴始终保持正交状态。我们一般认为其奇异点为外框轴处于±90° 时，此时随动框轴从Y 轴转到Z 轴，与仍然处在Y 轴的内框轴正交，如图3 所示，与此同时随动框轴就失去了对内框轴的伺服控制能力。

2.1 奇异点存在性

我们针对以往的实验现象推导其理论机理，研究四轴平台奇异点存在性原理。由于四轴平台的内框轴始终处于零位，因此我们以内框架角速度为平衡点，建立从台体到内框的迭代式以及从基座到内框的迭代式，其中基座到内框的迭代式由式(1)(2)(3) 可推出：

从台体到内框为：

将式(5) 和(6) 建立等式后可得：

由于平台隔离基座角运动的特性，因此，故上式经过整理可得：

将(8) 式中第一行拿出来整理可得：

由此式我们可以得到，当θ_r趋近于90° 时，内框轴如若产生角速度，则会产生无限大量 ，此时就需要随动框架产生无限大的才能使内框轴回到零位，但这在实际情况中无法实现，由此便证明奇异点的存在原理。

2.2 奇异点唯一性

其次是四轴平台奇异点唯一性的证明，我们需要对式(8) 进行化简，将其展开后为：

对其逐步进行化简，由于平台隔离基座角运动特性的实质是相邻框架角速率平衡基座角速率，因此对式(10)(11)(12) 进行逐步化简。

其中，得：

得：

同理可得ω_bx和ω_by表达式，故相邻框架系角速率与基座角速率的关系为：

而上述推导的前提是 若 ，由此式(8) 为：

与式(17) 所得结果相同。而由于随动伺服回路的存在，基本处于零位，因此式(17) 可化简为：

其简式为：

至此，我们完成了对四轴平台的降维问题，使其变成了一个三输入三输出系统。当T1 满秩时，方程组有唯一解，意味着框架系间的运动可以平衡基座角运动，使台体角速率保持为零。只有当T1 矩阵不满秩时，框架系间的运动不再可以平衡基座角运动，平台进入奇异点。而T1 行列式为：

因伺服回路的作用，内框架角θ_f始终处于零位，因此当且仅当即时，T1 的行列式为零，该平台处于奇异点位置，至此完成了四轴平台的奇异点唯一性的证明。

3   结论

本文利用惯性平台系统惯性空间中稳定的原理，通过对四轴平台的机理分析，论证了其奇异点无法工作的原理，同时证明了四轴平台的奇异点有且只有一个，为四轴平台的研究分析提供了强有力的保障。

参考文献

[1] 秦永元编著.惯性导航(第2版)[M].北京:科学出版社.2014.

[2] 高桂杰,张艳霞,夏刚,魏宗康.四轴平台随动系统的模型分析与设计[J].导航与控制,2014,13(4):21-25,31.

[3] 李海霞,高钟毓,张嵘,韩丰田.四轴陀螺稳定平台的变结构分区控制[J].清华大学学报(自然科学版),2010,50(7):1023-1028.

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[8] 赵军虎,洪娟,李渤弘.四轴惯性平台随动框架控制策略研究[J].导航与控制,2017,16(4):32-37.

[9] 康尧磊,王汀,朱志刚.四轴平台外框架角±90°时运动特性仿真分析[J].导航与控制,2009,8(2):1-8.

（本文来源于《电子产品世界》杂志2022年2月期）