1 从三维空间对应出发
在前面的范例里，都只使用到简单的一维和二维的特征（空间）对应。在本文中，将继续扩大为三维的特征对应。一旦熟悉了三维的特征对应，就能轻易地继续扩大到更多维的特征对应了。
例如下图，是从三维的X空间对应到二维的Z 空间。其中收集了5 个人的特征数据，每个人都有3 项特征：是否擦口红、是否穿高跟鞋以及是否抽烟，如下图所示。
此时，已知这5 个人之中，有3 位是女士，另两位是男士。也就是，人们心中已经将它们区分为两个类（Class）了。于是，就设定两个目标值：T=[0, 1] 代表“女士”类；而T=[1, 0] 代表“男士”类。此时，X 空间与Z 空间的目标值之间的对应关系是：
您可以看到，X是三维空间，而Z 是二维空间。接着，ML寻找其中的对应规律，并由W和B 来表达和记住它。请按下“分类”，ML 寻找出W 和B 值。此时，X 与Z空间的内涵如下图所示。
接着，由X*W+B=Y 和Sigmoid（Y）=Z 计算出来的预测值是Z=[[0.19, 0.82]、[0.06, 0.94]、[0.83, 0.17]、[0.83, 0.17]、[0.17, 0.82]]，如下：
以X=[0, 1, 0] 为例，由X*W+B=Y 和Sigmoid（Y）= Z 计算出预测值Z[0.17, 0.82]。其计算过程是：
依同样的对应规律，将X 空间里的5 个点都逐一对应到Z 空间，如下图所示。
可以看到，有3 个预测值非常接近于目标值T=[0,1]，归于“女士”类，而另外2 个预测值非常接近于目标值T=[1, 0]，归于“男士”类。
2 以三分类（3-class classification）为例
下面举例说明三维X 空间对应到三维Z 空间。例如有一位即将毕业的学生，到征求人才的网站上浏览到7 个工作机会（Job Offer），各有3 项特征：钱多吗、事少吗以及离家近吗? 如下图所示。
此时，这位学生对这些工作机会区分为3 类。于是，设定3 个目标值：T=[1, 0, 0] 代表“喜欢”类；T=[0, 1,0] 代表“普通”类；以及T=[0, 0, 1] 代表“不喜欢”类。
请按下“分类”，ML 寻找出W 和B 值。此时，X与Z 空间的内涵如下：
接着，由X*W+B=Y 和Sigmoid（Y）=Z 计算出来的预测值，如下：
以X=[0, 1, 0] 为例，由X*W+B=Y 和Sigmoid（Y）=Z 计算出预测值Z[0.02, 0.12, 0.9]。其计算过程是：
依同样的对应规律，可以将X 空间里的7 个点都逐一对应到Z 空间，如下图所示。
其中，可以看到，将Job5、Job6 和Job7 所对应的预测值都非常接近于目标值T=[0, 0, 1]，归于“不喜欢”类。同理，由于Job3 和Job4 的对应预测值很接近于目标值T=[0, 1, 0]，归于“普通”类。以此类推，由于Job1 和Job2 的对应预测值很接近于目标值T=[1, 0, 0]，归于“喜欢”类。
到此您已经熟悉了ML 如何从三维的X 空间对应到三维的Z空间。也能轻易地继续扩大到对应更多维的空间。
（本文来源于《电子产品世界》杂志2021年7月期）
