1 引言
倒立摆是研究控制理论的典型实验平台。由于倒立摆系统本身所具有的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法。控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统，为使其保持稳定，并且可以承受一定的干扰，采用极点配置法设计用于直线型一级倒立摆系统的控制器。
2 数学模型的建立
因为倒立摆系统本身是一个自不稳定的系统，因此实验建模存在一定的困难。然而，经过谨慎的假设，忽略掉一些次要因素，就能使倒立摆系统成为一个典型的运动的刚体系统，使之在惯性坐标系内应用经典力学理论就能建立系统的动力学方程。下面采用牛顿-欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。
2.1微分方程的推导
在忽略空气阻力和各种摩擦后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。
假设M为小车质量；m为摆杆质量；b为小车摩擦系数；l为摆杆转动轴心到杆质心的长度；I为摆杆惯量；F为加在小车上的力；x为小车位置；φ为摆杆与垂直向上方向的夹角；θ摆杆与垂直向下方向的夹角。
图2示出系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向分量。值得注意的是：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已确定，因而矢量方向定义如图2所示，图示方向为矢量正方向。
2.2状态空间方程
2.3实际系统模型
3 状态空间极点配置
4 仿真验证
建立直线一级倒立摆的仿真模型如图3所示。"GLlIPState-Space"为直线一级倒立摆的状态空间模型。双击图3中的"Poles Control"模块，打开图4中的设置窗口。
把计算得到的K值输入到上面的窗口。可得图4所示的仿真运行结果。
由图5可见，在存在干扰的情况下，系统在3 s内基本上可以恢复到新的平衡位置。
5 实时控制
将仿真得到的K参数输入到实际系统的控制模块中，可得图6所示实时控制曲线。在给定倒立摆干扰后，系统响应图7所示。
6 结语
采用极点配置法设计的用于直线型一级倒立摆系统的控制器，可使系统在很小的振动范围内保持平衡，小车振动幅值约为4×10-3 m，摆杆振动幅值约0.05 rad，系统稳定时间约3 s。
