由于被控对象在建模过程中必然会产生误差，系统参数随着时间的推移和环境的变化亦会不断产生变化。因此，任何实际系统的设计和分析都将面临不确定性，因此在设计控制器的时候如果忽略不确定性的研究，将使得实际系统的控制效果不佳，严重时将使得系统不稳定。常用的基于LMI的保性能控制已经广泛地应用于不确定性系统，取得了一些较好的效果。

本文介绍基于线性矩阵不等式(LMI)处理方法，导出存在状态反馈保性能控制律的充分必要条件，并用一个线性矩阵不等式的可行解给出了所有保性能控制律的一个参数化表示。进而，通过建立和求解一个凸优化问题，给出了二次型保性能控制律设计方法。

2 线性不确定性系统的保性能优化控制器设计

考虑由以下状态方程描述的不确定离散系统：

x(k+1)=(A+△A)x(k)+(B+△B)u(k) (1)

其中x(k)∈Rn是系统的状态向量，u(k)∈Rm是控制输入，A，B是描述名义系统模型的已知常数矩阵，△A，△B是反映系统模型中参数不确定性的未知实矩阵。本文中考虑的参数不确定性假设是范数有界的，且具有以下的形式：

的不确定矩阵，D，E1和E2是已知的常数矩阵，它们反映了不确定参数的结构信息。

对系统(1)，定义一个相应的成本函数：

其中Q>0，R>0是给定的加权矩阵。

本文研究的问题是设计一个状态反馈控制律：

u(k)=Kx(k) (5)

使得对所有允许的参数不确定性，闭环系统：

x(k+1)=[A+BK+DF(E1+E2K)]x(k) (6)

满足以下的设计指标：

(1)闭环系统(6)是渐近稳定的；

(2)闭环控制系统(6)的性能指标J始终不超过某一确定正数J*。

定义1 对系统(1)和性能指标(4)，如果存在一个控制律u*(k)和一个正数J*，使得对所有允许的不确定性，闭环系统(6)是渐近稳定的，且闭环性能指标值满足J<J*，则J*称为不确定系统(1)的一个性能上界，u*(k)就称为不确定系统(1)的一个保性能控制律。

引理1 对系统(1)和性能指标(4)，若存在一个矩阵K和一个正定对称矩阵P，使得所有非零的系统状态x(k)和所有满足式(3)的不确定性矩阵F，有：

定理1 对给定的系统(1)和性能指标(4)，如果以下的优化问题：

问题(8)中的(II)等价于S>X-1>0，因此Trace(S)的最小化将保证Trace(X-1)的最小化，即系统性能上界的最小化。由于问题(8)中的目标函数是变量的凸函数，因此，问题(8)是一个凸优化问题，从而可以达到全局的最小值。

问题(8)是一个具有线性矩阵不等式约束的凸优化问题，因此可以应用LMI工具箱中的求解器mincx求解之。

综上所述，下面给出线性不确定性系统的保性能优化控制算法：

Step 1：求解优化问题(8)，得最优解(W，X)；

Step 2：求取控制增益K=WX-1；

Step 3：u(k)=Kx(k)作用于系统。

3 仿真分析

为了验证本文算法的有效性，下面对不确定离散系统进行仿真分析。对系统(1)中：

不变。利用经典的LQG方法可得最优反馈控制增益：

K=[-0.0088 0.7569 0.7159]

将u(k)=[-0.0088 0.7569 0.7159]x(k)=-0.008 8x1(k)+0.756 9x2(k)+0.715 9x3(k)作用于实际系统，由于系统存在不确定性△A，△B，则系统的控制效果如图1所示。

从仿真结果可以看出，虽然系统最后可以稳定下来，但是调节过程中系统出现较大震动，这在工程中是不允许的，同时，当不确定性量较大时，系统将失控。

(2)考虑系统不确定性，采用保性能控制，其最优控制增益为：
K=[-0.0521-0.6750-0.6691]

将u(k)=-0.052 1x1-0.675 0x2-0.669 1x3作用于系统，则控制效果如图2所示。

对比图1和图2可以看出，调节过程中出现的震动较小，当不确定性量较大时，系统可以得到很好地控制。

4 结 语

不确定性普遍存在于各种被控对象中，随着工业过程对象对控制精度要求的不断提高，线性不确定性系统的研究显得越来越重要，越来越多的学者对系统不确定性进行了研究并已经取得了一些进展。基于线性矩阵不等式(LMI)的保性能控制可以很好地解决系统的不确定性，其在控制中的应用越来越广泛。