1 引言

    倒立摆是研究控制理论的典型实验平台。由于倒立摆系统本身所具有的高阶次、不稳定、多变量、非线性和强耦合特性，许多现代控制理论的研究人员一直将它视为典型的研究对象，不断从中发掘出新的控制策略和控制方法。控制器的设计是倒立摆系统的核心内容，因为倒立摆是一个绝对不稳定的系统，为使其保持稳定，并且可以承受一定的干扰，采用极点配置法设计用于直线型一级倒立摆系统的控制器。

    2 数学模型的建立

    因为倒立摆系统本身是一个自不稳定的系统，因此实验建模存在一定的困难。然而，经过谨慎的假设，忽略掉一些次要因素，就能使倒立摆系统成为一个典型的运动的刚体系统，使之在惯性坐标系内应用经典力学理论就能建立系统的动力学方程。下面采用牛顿-欧拉方法建立直线型一级倒立摆系统的数学模型。

    2.1微分方程的推导

    在忽略空气阻力和各种摩擦后，可将直线一级倒立摆系统抽象成小车和匀质杆组成的系统，如图1所示。

    假设M为小车质量；m为摆杆质量；b为小车摩擦系数；l为摆杆转动轴心到杆质心的长度；I为摆杆惯量；F为加在小车上的力；x为小车位置；φ为摆杆与垂直向上方向的夹角；θ摆杆与垂直向下方向的夹角。

    图2示出系统中小车和摆杆的受力分析图。其中，N和P为小车与摆杆相互作用力的水平和垂直方向分量。值得注意的是：在实际倒立摆系统中检测和执行装置的正负方向已确定，因而矢量方向定义如图2所示，图示方向为矢量正方向。