| 研究和使用晶体材料时发现，材料内发生的过程和性能与晶体的某些方向（晶向 crystallographic directions）和原子构成的平面（晶面 crystallographic planes）有关。目前，通常用三个或四个指数来表征晶向和晶面，称为密勒指数（Miller Indices）。标定密勒指数时以晶胞为基础，x, y, z三轴系统的原点O放在晶胞的一个角上，三个轴与晶胞的三个边相重合（如图2.2-1所示）。对斜方、三斜晶系等，三个坐标轴则互相不垂直。 |
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| 图2.2-1 晶胞与三轴坐标系 | ||
晶向可用点阵中两阵点间的连线或矢量来定义。 | ||
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| 图2.2-2 给出了立方晶系中一些主要的晶向指数。显然，与这些晶向方向相反的晶向具有相同的指数但符号相反。如：与[001]晶向相反方向的晶向应是[00-1]，通常写成 |
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| 图2.2-2立方晶体的主要晶向 | |
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| 晶面的密勒指数的标定也以晶胞为基础。三轴座标的位置仍然如图2.2-1所示。标定程序如下： 1 求出待定晶面在三个坐标轴上的截距。仍以点阵参数（晶胞边长）a,b,c作为度量单位。如待定晶面与一个晶轴平行，则在这个晶轴上的截距为∞。 2 取这些截距的倒数。 3 乘以或除以公因子，将这些倒数化为最小整数。 4 加上圆括号，标定结果写成（hkl）。 |
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| 点击体心立方晶体的晶面，你可以通过下拉菜单看到体心立方晶体的四个主要晶面和它们的晶面指数。注意用鼠标旋转BCC晶胞，来深入了解这四个晶面在晶胞中的位置。 | 体心立方晶体模型 |
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| 点击面心立方晶体的晶面，用同样方法，可以看到面心立方晶胞的四个晶面和它们的晶面指数。你会发现，BCC和FCC中指数相同的晶面在晶胞中的位置也是相同的。但是，晶面上原子排列并不相同。你在旋转晶胞观察晶面时，要注意晶轴x,y,z的方向,也要注意各个晶面上原子排列的位置，最好把它们画下来，对比一下，加深了解。以后我们还会遇到晶面上原子排列规律的问题。和标定晶向指数的情况相同，当晶面的截距为负值时，该指数也应为负值，就应在该指数的上面加上一个负号，如 | 面心立方晶体模型 |
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至于图2.2-4这样的三个相互平行的（110）和（111）晶面，它们分别是完全等价的，因为在化为最小整数时，晶面指数都是（110） 和（111）。所以，它们分别属于同一个晶面，这和一个晶面族内的晶面情况并不相同。 有趣的是，在立方晶体中同指数的晶向和晶面是相互垂直的，即〔100〕晶向与（100）晶面垂直。其他的晶系中则不存在这种简单的关系。 |
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| 六方晶系采用4个指数，即（hkil）来表示晶向和晶面更为方便。标定指数时采用c、a1、a2、a3 四晶轴系统(如图2.2-5)，a1、a2、a3之间的夹角为120°，c 轴与a1、a2、a3垂直。标定程序也和上所述三指数的程序相同。 | ||
| 标定图2.2-5中红色柱面的晶面指数： 与a1 轴平行 截距＝∞ 倒数＝0 |
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| 图2.2-5=密排六方晶体的晶面指数 | ||
| 由几何原理可知，三维空间独立的坐标轴只能有三个。故在前三个指数中只有两个是独立的，即： | ||
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相互平行的晶面具有相同的晶面指数。 |
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| 标定六方晶系基面上的晶向比较简单，因为没有在c轴方向上的矢量分量。那么，首先来标定a1晶轴的晶向指数。由于此晶向与a1晶轴重合，因此a1、a2、a3三个矢量的和应该也与a1重合，故如图2.2-6（a）所示。请注意，三个矢量的大小u、v、t要满足式（2.2-2）的关系。由图中可以看清楚三个分矢量的关系。结果表明此晶向为 | |
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| 图2.2-6 (a) a1晶轴的晶向指数 | (b) S的晶向指数 |
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| 我们已经知道，FCC与HCP都是致密度最高（74％）的晶体结构，即密堆晶体结构。但是二者在晶体结构和性能上都有较大的区别。具有FCC结构的铜和金塑性很好；具有HCP的锌则塑性较差。这与它们的堆垛方式有关。 首先研究HCP的堆垛方式。由本章第一节的图2.1-3和 HCP晶胞的动画可以看出，中间原子平面上的每个原子正处在上下基面，即（0001）面的三个原子中间的位置上。图2.2-7能更清楚地表示HCP中上下基面和中间原子平面各原子的置关系。读者可以操作HCP堆垛动画加深了解。第三层原子的位置与第一层原子的位置是重合的。所以，这种堆垛方式可以称之为ABAB密堆方式。 | ||
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| 堆垛方式 ABABA | |
| FCC的（111）晶面也是密排晶面，从〔111〕方向来看，即从垂直（111）晶面的方向来看，FCC的堆垛方式与HCP是一样的（图2.2-8）。不同的是，第三层原子与第一层原子位置并不重合，而是排在C的位置，故可称为ABC密堆方式。 读者可以在动画中点击鼠标把ABC 层的原子一层层的堆垛起来。将动画旋转到与原子平面垂直的位置，注意动画中的灰色(A)、蓝色(B)、红色(C)原子层，并与图2.2－8对照，就可以更好地了解ABCABC的堆垛方式。 | |
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| 堆垛方式ABCABC |
习题
| 2.2-1 求出下图所示晶向P的晶向指数。 | ||
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| 2.2-2 求出图中密排六方晶体中三个用红色标示的晶向的指数（四指数法）。 | ||
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| 2.2-3 求出下图各晶面的晶面指数。 | ||
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| 2.2-4 下图标注了立方晶体的4个晶向，在每个晶向上给出了3个晶向指数，各选定一个指数，然后移动鼠标选择答案，看看自已选择的答案是否正确。 (移动鼠标选择答案) |
| 2.2-5 下图给出立方晶体的4个晶面，在图下标注的指数中选择一个答案。移动鼠标选择答案，看看自已选择的答案是否正确。(移动鼠标选择答案) |
2.2-6 计算FCC中（110）晶面的面密度。
| 提 示 算出晶面的面积和这个晶面上所有原子的面积，这道题就解出来了。下题是类似的。 |
2.2-7 计算BCC中[100]晶向的线密度。
。对于立方晶系来说，[001]、[010]、[100]、
、
这六个晶向有相同的性质，故归之为同一个晶向族，用〈100〉表示。
。相互平行的晶面具有相同的指数，最多相差一个负号。这种相互平行的晶面就称为晶面族，用{hkl}表示。{100}晶面族包含6个原子排列相同的晶面。它们是：（100）、（010）、（001）、
、
、
。 要注意在这六个晶面中0与1的位置并不相同。{110}晶面族则含有12个原子排列相同的晶面。
。
。根据这个程序，由图2.2-6(b)可以求出S晶向的晶向指数应为
。
〕 
）、（
）